Главная - Пенсия - Сложение смешанных дробей с разными знаменателями и разными знаками

Сложение смешанных дробей с разными знаменателями и разными знаками


Сложение смешанных дробей с разными знаменателями и разными знаками

Сложение дробей.


Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\) В буквенном виде получаем такую формулу: \(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\) Сложение происходит по закону сложения. \(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)

Дроби.
У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными. Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же. Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

Вычитание дробей.

Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше; Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили.

В результате мы почти найдем ответ; Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби – выделяем в дроби целую часть. Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.
Пример вычитания дробей: В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей.

Правило вычитания дробей с разными знаменателями.

Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными

Вычитание дробей. Вычитание дробей с разными знаменателями.

Умножим вторую дробь \(\frac{3}{7}\) на 3.

\(\frac{13}{21}-\frac{3}{7} = \frac{13}{21}-\frac{3 \times \color{red} {3}}{7 \times \color{red} {3}} = \frac{13}{21}-\frac{9}{21} = \frac{13-9}{21} = \frac{4}{21}\) Выполним проверку вычитания: \(\frac{4}{21} + \frac{3}{7} = \frac{4}{21} + \frac{3 \times \color{red} {3}}{7 \times \color{red} {3}} = \frac{4}{21} + \frac{9}{21} = \frac{4 + 9}{21} = \frac{13}{21}\) б) Найдем общий знаменатель дробей \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{1}{5}\), он будет равен 15.

Умножим первую дробь \(\frac{2}{3}\) на дополнительный множитель 5, вторую дробь \(\frac{1}{5}\) на 3.

\(\frac{2}{3}-\frac{1}{5} = \frac{2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5}}-\frac{1 \times \color{red} {3}}{5 \times \color{red} {3}} = \frac{10}{15}-\frac{3}{15} = \frac{10-3}{15} = \frac{7}{15}\) Выполним проверку вычитания: \(\frac{7}{15} + \frac{1}{5} = \frac{7}{15} + \frac{1 \times \color{red} {3}}{5 \times \color{red} {3}} = \frac{7}{15} + \frac{3}{15} = \frac{7 + 3}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\)

Вычитание дробей

Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число в виде . Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби, знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример.

В примере единицу мы заменили неправильной дробью 77 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь. При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

При подобных расчётах могут встретиться разные случаи.

У дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из чего вычитаем) больше или равен числителю дробной части вычитаемого (что вычитаем). Пример.

У дробных частей разные знаменатели.

Смешанные числа

Различие в том, что в первом случае число 2 и дробь соединяются знаком сложения, а во втором случае они записаны вместе.

На самом деле это одно и то же.

Дело в том, что это свёрнутая форма записи смешанного числа, а — развёрнутая. Когда перед нами смешанное число вида , мы должны понимать, что знак сложения опущен. Какой можно сделать вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.
Значит значение выражения равно Если к двум целым пиццам прибавить половину пиццы, то получится две целые пиццы и ещё половина пиццы: Пример 2.

Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби

.

Затем сложим дроби с разными знаменателями: Это первый способ. Второй способ намного проще. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе.

Действия с дробями

Сложить дроби

и . Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения: В ответе получилась неправильная дробь

.

Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться.

Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице: Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца: Пример 3.

Сложить дроби

и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения: Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части.

Miassats.Ru

Тогда сложение чисел с разными знаками можно рассматривать как сложение имущества и долга. При этом понятно, что если имущество меньше долга, то после взаимозачета останется долг, если имущество больше долга, то после взаимозачета останется имущество, а если имущество равно долгу, то после расчетов не останется ни долга, ни имущества. Объединим приведенные выше рассуждения в правило сложения чисел с разными знаками.

Чтобы сложить положительное и отрицательное число, надо:

  1. из большего модуля вычесть меньший;
  2. если же полученные числа не равны, то надо запомнить знак числа, модуль которого больше;
  3. сравнить полученные числа, при этом
    • если полученные числа равны, то исходные слагаемые являются противоположными числами, и их сумма равна нулю,
    • если же полученные числа не равны, то надо запомнить знак числа, модуль которого больше;
  4. перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.
  5. если полученные числа равны, то исходные слагаемые являются противоположными числами, и их сумма равна нулю,
  6. найти модули слагаемых;

Сложение и вычитание дробей

Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании.

В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл. Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется! Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто.

Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

  • Минус на минус дает плюс.
  • Плюс на минус дает минус;

Разберем все это на конкретных примерах: Задача.

Найдите значение выражения: В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей: Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя.

Вычитание смешанных дробей.

То есть \(\frac{1}{4} < \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним>

единицу мы запишем как \(\frac{4}{4}> \(\begin{align}&6\frac{1}{4}-3\frac{3}{4} = (6 + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {1} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \color{red} {\frac{4}{4}} + \frac{1}{4})-3\frac{3}{4} = (5 + \frac{5}{4})-3\frac{3}{4} = \\\\ &= 5\frac{5}{4}-3\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}\\\\ \end{align}\) Следующий пример: \(7\frac{8}{19}-3 = 4\frac{8}{19}\) Пример: \(3-1\frac{2}{5}\) Уменьшаемое 3 не имеет дробной части, поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание.